Urodził się 21 października 1907 roku w Woli Gałęzowskiej, Ludwika i Janiny z domu Horciak (Horczak h. Hurko – W. Grudniak). W kolejnych latach przybyło mu rodzeństwa: siotra Zofia oraz bracia Stanisław i Mieczysław. Do gimnazjum o profilu matematyczno-przyrodniczym uczęszczał w Lublinie. Po zdaniu matury studiował na Politechnice Warszawskiej, a następnie na Politechnice Lwowskiej.
Podczas odbywania służby wojskowej po kursie podchorążych rezerwy w Mołodecznie, w latach 1931-1932 postanowił wstąpić do lotnictwa. Został przyjęty do Szkoły Podchorążych Lotnictwa i ukończył ją jako drugi na liście absolwentów VIII promocji. 15 października 1934 roku promowany został na stopień podporucznika. Otrzymał przydział do 112 eskadry myśliwskiej. W 1937 roku awansował na stopień porucznika. W tym samym roku zawarł związek małżeński z Marią Piwnicką. W 1939 roku awansował na stanowisko dowódcy eskadry. W sierpniu wyjechał z polską misją wojskową do Francji, w celu zakupu samolotów dla polskiego lotnictwa.
Rozkazem z dnia 18 maja 1940 roku utworzony został klucz frontowy pod dowództwem Paszkiewicza. W jego skład wchodzili kpr. Leon Nowak i kpr. Kazimierz Wunsche. Klucz został skierowany do francuskiej jednostki GC II/8, stacjonującej w Amiens. Polacy udali się do Amiens, lecz Francuzów nie odnaleźli. Jednostka znajdowała się w Villacoublay, po wielu perypetiach polski klucz odnalazł GC II/8. Polaków przydzielono do 4 eskadry. Paszkiewicz wraz z podległymi mu pilotami rozpoczęli loty 23 maja. 13 czerwca jednostka przeniosła się do Cherbourga. Paszkiewicz latał na zadnia bojowe, niestety bez kontaktu z nieprzyjacielem. 18 czerwca wykonał dwa ostatnie loty. Podczas przelotu do Rochefort piloci otrzymali rozkaz zaatakowania kolumny niemieckiej, tylko Paszkiewicz wykonał to zadanie. Podczas Kampanii Francuskiej wykonał 33 loty w czasie 28 godzin i 40 min, z tego 18 lotów to zadania bojowe.
Do Anglii ewakuował się wraz z dywizjonem 1/145 z portu La Rochelle, na statku Robur III. Na Wysypy Brytyjskie przybył 21 czerwca.
Po pobycie w Blackpool, został 2 sierpnia skierowany do 303 dywizjonu myśliwskiego. Podczas lotu szkoleniowego 9 sierpnia rozbił Hurricanea o numerze seryjnym P3645. 31 sierpnia podczas lotu ćwiczebnego odłączył od formacji i zestrzelił niemiecki samolot, Dornier Do17 (wg J.B Cynka był to Messerschmitt Me110).7 września zestrzelił dwa Dorniery Do17. Dnia 11 września zgłosił zniszczenie Messerschmitta Me110. Cztery dni później strącił Messerschmitta Me109. 26 września jego łupem padł Heinkel He111. Dzień później został zestrzelony i zginął w swoim samolocie, Hurricanie L1696, rozbijając się w miejscowości Crowhurst Farm. Pochowano go 2 października na cmentarzu w Northwood.
Pośmiertnie został odznaczony Krzyżem Srebrnym Virtuti Militari, 23 grudnia 1940 roku. Pierwszego lutego 1942 roku przyznano mu Krzyż Walecznych, a 30 października brytyjskie DFC.
W 1941 roku, w kraju zmarła jego córka. Jego żona (Maria Piwnicka h. Lubicz – W. Grudniak) uczestniczyła w Powstaniu Warszawskim. Po wojnie wstąpiła do klasztoru S.S. Niepokalanek.